PERSAMAAN GARIS LURUS

A.             Persamaan Garis Lurus

1.    Mengingat Kembali Koordinat Cartesius

·           Garis mendatar dinamakan sumbu x dan garis tegak (vertical) dinamakan sumbu y.

·           Titik O merupakan titik potong sumbu x dan sumbu y dinamakan titik potong sumbu koordinat atau titik pangkal atau titik asal.

Pada gambar titik A(1, 2), 1 dinamakan absis atau koordinat pertama dan 2 dinamakan ordinat atau koordinat kedua. Pasangan (1, 2) dinamakan koordinat dari titik A.

2.    Pengertian Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.

Rumus umum fungsi linear adalah y = f(x) = ax + b dengan a, b ϵ R dan a  ≠ 0 Oleh karena grafik fungsi linear y = f(x) = ax + b berupa garis lurus maka persamaan y = ax + b dinamakan persamaan garis lurus .

Pada fungsi f(x) = x + 2. jika f(x) = y, maka y = x + 2 disebut persamaan garis lurus.

Contoh lain persamaan garis lurus adalah y = x – 2, y = 2x, y = 3x + 4, dan lain-lain.

3.    Persamaan Garis Lurus Dalam Berbagai Bentuk

Bentuk umum persamaan garis lurus :

a.         Bentuk implicit, yaitu ax +by + c= 0, variable x dan y terletak dalam satu ruas, a, b, c adalah konstanta. Misalnya 2x – 3y -5 = 0, nilai a = 2, b = -3, c = -5.

b.         Bentuk eskplisit, yaitu y = mx + n, m dan n merupakan konstanta dan m adalah gradient. Variable x dan y berlainan ruas. Misalnya y = 2x – 3, nilai m = 2 dan n = 3.

4.    Mengubah Bentuk Implisit Ke Bentuk Eskplisit Dan Sebaliknya

Contoh :

Ubahlah persamaan garis berikut :

a.      2x + 3y -6 = 0 ke bentuk eksplisit.

b.      y = 1/2x -1 ke bentuk implicit.

Jawab :

a.      2x + 3y -6 = 0

    3y = -2x + 6

      y = -2/3x + 2

            (bentuk eksplisit)

b.      y = 1/2x – 1

2y = x – 2

                                  -x + 2y + 2 = 0

                                    x – 2y – 2 = 2

                        (bentuk implicit)

5. Menggambar Grafik Pada Koordikat Kartesius

Untuk selanjutnya persamaan garis lurus cukup disebut persamaan garis saja.

Contoh :

Gambarlah grafik garis yang mempunyai persamaan 4x + 3y – 12 =8

Jawab :

Langkah pertama adalah membuat table koordinat dan cukup dipilih dua pasangan koordinat yang mudah, yaitu titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y.

a.      Titik potong terhadap sumbu x, y = 0

4x + 3y – 12 = 0

  4x + 0 – 12 = 0

                4x = 12

                  x = 3, didapat titik (3, 0)

b.      Titik potong terhadap sumbu y, x = 0

4x + 3y -12 = 0

0 + 3y – 12 = 0

              3y = 12

                y = 4, didapat titik (0, 4)

                       

B.             GRADIEN

1.             Pengertian Gradien (m)

Gradien atau koefisien kemiringan atau koefisien angka arah suatu garis adalah ukuran kecondongan garis dan merupkan perbandingan perubahan nilai y terhadap nilai x.

2.             Gradien garis melalui titik pangkal dan titik A (x1, y1)

Perubahan nilai y adalah y1 dan perubahan x adalah x1 maka gradien =

m =  y1/x1

Contoh :

Tentukan gradien garis melalui titik O(0, 0) dan A(2, -4).

Jawab :

Perubahan nilai y dari 0 ke -4 adalah -4

Perubahan nilai x dari 0 ke 2 adalah 2

Gradien = m = -4/2 = -2

3. Gradien garis melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)

Perubahan nilai x adalah x2 – x1 dan perubahan nilai y adalah y2 – y1.

Jadi m =

Contoh :

Tentukan gradien garis melalui A(2, -1) dan B(-1, 8)

Jawab :

4. Gradien garis dalam bentuk persamaan

a.      Dalam bentuk y = mx + n, gradiennya = m

b.      Dalam bentuk ax + by + c, gradiennye = -a/b

Contoh :

Tentukan gradien garis dengan persamaan :

a.      y = ½ x – 9

b.      2x – 3y -1 = 0

Jawab :

a.       y = ½ x – 9 , gradien m = ½

b. 2x – 3y – 1 = 0, gradien m = -a/b = -2/-3 = 2/3

5. Sifat-sifat gradient suatu garis

a.      Garis sejajar sumbu x, gradiennya 0

b.      Garis sejajar sumbu y, tidak mempunyai gradien.

c.       Gradien garis bernilai positif,arah garis condong ke kanan.

d.      Gradien garis bernilai negatif,arah garis condong ke kiri

e.      Dua buah garis sejajar, gradiennya sama (m1 = m2).

f.        Duah buah garis saling tegak lurus, hasil perkalian gradiennya = -1 (m1 x m2 = -1)

Contoh :

Ditentukan garis k dengan persamaan 3x – 7y = 21 dan garis l dengan persamaan 14x + 6y – 1 = 0. berilah keterangan tentang hubungan kedua garis itu !

Jawab :

3. Persamaan Garis (2)
1. Persamaan garis melalui titik A(x, y) dengan gradien m adalah y – y1 = m(x – x1)

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui  titik (2, 4) dan bergradien 3.

Jawab :

2. Persamaan garis melalui titik A(x1, y1) dan sejajar dengan garis y = mx + n adalah y – y1 = m (x – x1)

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui  titik (-1, 3)dan sejajar dengan garis y – 2x = 9.

Jawab :

3. Cara lain untuk mencari garis persamaan garis yang sejajar dan tegak lurus garis lain

Missal : diketahui persamaan garis k = ax + by + c = 0

a.      Persamaan garis yang sejajar garis k adalah ax + by = ax1 + by1

b.      Persamaan yang tegak lurus k adalah bx – ay = bx1 – ay1

Contoh :

Ditentukan garis k dengan persamaan 4x + 3y – 11  = 0 dan titik A (1, 2).

Tentukan persmaan garis yang melalui titik A dan

a.      Sejajar garis k

b. Tegak lurus dengan garis k

4. Pesamaan garis melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah :
5. Menentukan titik potong dua buah garis

Logaritma

CONTOH SOAL LOGARITMA DAN PENYELESAIANNYA

Berikut ini adalah contoh-contoh soal logaritma dalam pelajaran Matematika SMA dan jawabannya/ penyelesaiannya/ penjelasannya. Yang perlu diperhatikan adalah bagaimana kita mengerjakan soal-soal logaritma dengan teliti step by step. Gambar di atas adalah sifat-sifat dasar logaritma. Semoga bisa memberi sedikit pencerahan untuk semua yang ingin belajar materi logaritma ini.

1)        Jika log 2 = a

maka log 5 adalah …

jawab :

log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a (karena log 2 = a)

2)         √15 + √60 - √27 = ...

Jawab :
√15 + √60 - √27
= √15 + √(4x15) - √(9x3)
= √15 + 2√15 - 3√3
= 3√15 - 3√3
= 3(√15 - √3)

3)       log 9 per log 27 =...

Jawab :
log 9 / log 27
= log 3² / log 3³
= (2. log 3) / (3 . log 3) <-- ingat sifat log a^n = n. log a
= 2/3

4)       √5 -3 per √5 +3 = ...

Jawab :

   (√5 - 3)/(√5 + 3)
= (√5 - 3)/(√5 + 3) x (√5 - 3)/(√5 - 3) <-- kali akar sekawan
= (√5 - 3)²/(5 - 9)
= -1/4 (5 - 6√5 + 9)
= -1/4 (14 - 6√5)
= -7/2 + 3/2√5
= (3√5 - 7)/2

5)     Jika a log 3 = -0,3 tunjukkan bahwa a = 1/81 3√9

Jawab :

ª log 3 = -0,3
log 3/log a = -0.3
log a = -(10/3)log 3
log a = log [3^(-10/3)]
a = 3^(-10/3) = 3^(-4) (3²)^(⅓ )

a= 1/81 3√9

TERBUKTI ^_^

6)       log (3a - √2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!

Jawab :
[log (3a - √2)]/log(0.5) = -0.5
log (3a - √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)
3a - √2 = 1/√½
a = (2/3) √2